\subsection{基本原理}\label{subsec:2-1}

我们先看下面的问题：

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有 $4$ 班，汽车有 $2$ 班，
轮船有 $3$ 班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

因为一天中乘火车有 $4$ 种走法，乘汽车有 $2$ 种走法，乘轮船有 $3$ 种走法，每一种走法都可以
从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有
$$ 4 + 2 + 3 = 9 $$
种不同的走法。

一般地，有如下原理：

\textbf{加法原理\mylabel{theorem:jiafa}[加法原理] \quad 做一件事，完成它可以有 $n$ 类办法，
    在第一类办法中有 $m_1$ 种不同的方法，
    在第二类办法中有 $m_2$ 种不同的方法，……，
    在第 $n$ 类办法中有 $m_n$ 种不同的方法，那么完成这件事共有
    $$ N = m_1 + m_2 + \cdots + m_n $$
    种不同的方法。
}

我们再看下面的问题：

由 $A$ 村去 $B$ 村的道路有 $3$ 条，由 $B$ 村去 $C$ 村的道路有 $2$ 条（图 \ref{fig:2-1}）。
从 $A$ 村经 $B$ 村去 $C$ 村，共有多少种不同的走法？

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/ds3-ch2-2-1}
    \caption{}\label{fig:2-1}
\end{figure}

这里，从 $A$ 村到 $B$ 村有 $3$ 种不同的走法，按这 $3$ 种走法中的每一种走法到达 $B$ 村后，
再从 $B$ 村到 $C$ 村又有 $2$ 种不同的走法。因此，从 $A$ 村经 $B$ 村去 $C$ 村共有
$$ 3 \times 2 = 6 $$
种不同的走法。

一般地，有如下原理：

\textbf{乘法原理\mylabel{theorem:chefa}[乘法原理] \quad
    做一件事， 完成它需要分成 $n$ 个步骤，
    做第一步有 $m_1$ 种不同的方法，
    做第二步有 $m_2$ 种不同的方法，……，
    做第 $n$ 步有 $m_n$ 种不同的方法。那么完成这件事共有
    $$ N = m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_n $$
    种不同的方法。
}

\liti 书架上层放有 $6$ 本不同的数学书，下层放有 $5$ 本不同的语文书。

(1) 从中任取一本，有多少种不同的取法？

(2) 从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？

\jie (1) 从书架上任取一本书，有两类办法：
第一类办法是从上层取数学书，可以从 $6$ 本书中任取一本，有 $6$ 种方法；
第二类办法是从下层取语文书，可以从 $5$ 本书中任取一本，有 $5$ 种方法。
根据加法原理，得到不同的取法的种数是
$$ N = m_1 + m_2 = 6 + 5 = 11 \text{。} $$

\textbf{答：} 从书架上任取一本书，有 $11$ 种不同的取法。

(2) 从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：
第一步取一本数学书，有 $6$ 种方法；
第二步取一本语文书，有 $5$ 种方法。
根据乘法原理，得到不同的取法的种数是
$$ N = m_1 \times m_2 = 6 \times 5 = 30 \text{。} $$

\textbf{答：} 从书架上取数学书与语文书各一本，有 $30$ 种不同的方法。

\liti 由数字 $1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5$ 可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？

\jie 要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：
第一步确定百位上的数字，从 $5$ 个数字中任选一个数字，共有 $5$ 种选法；
第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有 $5$ 种选法；
第三步确定个位上的数字，同理，它也有 $5$ 种选法。
根据乘法原理得到可以组成的三位数的个数是
$$ N = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125 \text{。} $$

答：可以组成 $125$ 个三位数。


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{（口答）一件工作可以用两种方法完成。有 $5$ 人会用第一种方法完成，另有 $4$ 人会用第二种方法完成。
    选出一个人来成这件作，共有多少种选法？
}

\xiaoti{在读书活动中，一个学生要从 $2$ 本科技书、$2$ 本政治书、$3$ 本文艺书里任选一本，
    共有多少种不同的选法？
}

\xiaoti{一名儿童做加法游戏。
    在一个红口袋中装着 $20$ 张分别标有数 $1,\, 2,\, \cdots,\, 19,\, 20$ 的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；
    在另一个黄口袋中装着 $10$ 张分别标有数 $1,\, 2,\, \cdots,\, 9,\, 10$ 的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数。
    这名儿童一共可以列出多少个加法式子？
}

\xiaoti{乘积 $(a_1 + a_2 + a_3) (b_1 + b_2 + b_3 + b_4) (c_1 + c_2 + c_3 + c_4 + c_5)$ 展开后共有多少项？}


\xiaoti{如图，从甲地到乙地有 $2$ 条路可通，从乙地到丙地有 $3$ 条路可通；
    从甲地到丁地有 $4$ 条路可通，从丁地到丙地有 $2$条路可通。
    从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
    \begin{figure}[htbp]
        \centering
        \input{../pic/ds3-ch2-1-lx-5}
        \caption*{（第 5 题）}
    \end{figure}
}

\xiaoti{一个口袋内装有 $5$ 个小球，另一个口袋内装有 $4$ 个小球，所有这些小球的颜色互不相同。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？}

    \xiaoxiaoti{从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{如图，从甲地到乙地有 $2$ 条陆路可走，从乙地到丙地有 $3$ 条陆路可走，
    又从甲地不经过乙地到丙地有 $2$ 条水路可走。
    \begin{figure}[htbp]
        \centering
        \input{../pic/ds3-ch2-1-lx-7}
        \caption*{（第 7 题）}
    \end{figure}
}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？}

    \xiaoxiaoti{从甲地到丙地共有多少种不同的走法？}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}

